Relativitetsteorins utveckling














 

En sammanfattning av relativitetsteorins utveckling

För er som läser igenom denna sida för första gången så rekommenderar jag att ni läser följande sammanfattning och bara skummar texten.

  • Newtons klassiska mekanik utvecklades i slutet av 1600-talet och förklarade framgångsrikt alla mekaniska problem som man hade.
  • Inte förrän i slutet av 1800-talet började man studera elektromagnetismen närmare som visade sig ge orimligheter då observatören rörde sig i förhållande till mätobjektet.
  • Olika etrar postulerades men trots att noggranheten i mätningarna ökade allt mer så misslyckades man att detektera någon eter för ljus.
  • Till slut gav man upp och insåg att det var fel på teorierna.
  • Försök att fixa till teorin ledde till en rad delresultat som ingick i den speciella relativitetsteorin.
  • Henri Poincaré och Henrik Lorenz lade de största pusselbitarna och kom närmast en komplett teori.
  • Albert Einstein lutade sig mot tankeexperiment istället för att försöka att förklara experiment och kom fram till den speciella relativitetsteorin år 1905.
  • År 1908 gör Hermann Minkowski om Einsteins principbaserade teori till en mer matematisk teori och förenar tiden med rummet i beräkningarna.
  • Man upptäcker att Newtons gravitationsteori inte går att införliva i den speciella relativitetsteorin.
  • Einstein börjar att fundera på vilka ändringar som behövs av gravitationsteorin för att kunna införlivas år 1907. Han upptäcker en rad principer som skulle komma att bli centrala inom den allmänna relativitetsteorin.
  • Han inser att den allmänna relativitetsteorin kommer att bli mycket komplicerad matematiskt sett och börjar ett samarbete med Marcel Grossmann år 1912.
  • De finner att differentialgeometri är den matematik som behövs och börjar tillsammans att utforska den.
  • De inser år 1913 att euklidisk geometri måste förkastas.
  • En stor framgång för teorin, som ej ännu är komplett, inträffar då teorin lyckas förklara Merkurius fram tills dess oförklarbara bana.
  • Han får hjälp av David Hilbert år 1915 och med varandras hjälp så lyckas de komma fram till rätt form på fältekvationerna. Hilbert var lite före Einstein och Hilberts artikel var dessutom mer matematiskt elegant.

Newtons mekanik visar sig vara ofullständig

Tiden kan nog sägas ha blivit mogen för utvecklandet av den speciella relativitetsteorin i början av 1900-talet. Fysikens klassiska lagar hade formulerats av det engelska geniet Isaac Newton (1642-1727) i hans berömda verk "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" från år 1687 som utan tvivel är ett av de absolut viktigaste vetenskapliga verk som någonsin publiserats. Enligt Newtons mekanik så rör sig partiklar som inte utsätts för någon kraft med konstant hastighet utmed en rak linje. Två olika partiklar relateras till varandra genom att de rör sig i en bestämd riktning med konstant hastighet relativt varandra. Tiden som partiklarna upplever skiljer sig åt med en konstant vid alla tider och kan beskrivas relativt en absolut tid. Man hade inte anledning att ifrågasätta denna teori från 1600-talet, som hade varit en fullständig succé och med vars hjälp man hade lyckats förklara bl a planeternas rörelser mycket exakt, förrän i slutet av 1800-talet då elektriska och magnetiska fenomen började studeras teoretiskt. Det hade länge varit känt att ljud kräver ett medium att färdas genom och det var ganska naturligt att postulera ett medium även för fortplantningen av ljus. Ett sådant medium kallades för en eter och många vetenskapsmän introducerade under 1800-talet etrar med olika egenskaper för att kunna förklara fortplantningen av olika fenomen som hörde samman med elektriciteten och magnetismen. Vid slutet av 1800-talet hade ljus, värme, elektricitet och magnetism fått var sin eter men någon djupare insikt hur dessa etrar skulle kunna höra ihop fanns inte.

Maxwell försöker detekterar etern

James Clerk Maxwell (1831-1879) hade i artikeln "Ether", skriven för uppslagsverket Encyclopedia Britannica, konstaterat att bara för vetenskapliga ändamål så måste rummet vara fyllt med minst tre eller fyra olika etrar. Maxwell var djupt övertygad att det måste finnas en eter även för ljus men han hade själv misslyckats med att upptäcka den. Han hade (felaktigt) konstaterat att vid mätningar där man undersöker hur lång tid det tar för ljus att gå en given sträcka, reflekteras mot en spegel och gå tillbaka igen så går det inte att mäta med tillräckligt stor noggrannhet för att kunna upptäcka eterns påverkan. Han hoppades dock ändå på att den s k maxwellska förskjutningen, som han betecknade som skillnaden i ljusets hastighet när man mätte parallellt med respektive vinkelrätt mot etern, skulle kunna upptäckas genom astronomiska observationer. Maxwell skickade därför ett brev till David Peck Todd, chef för Nautical Almanac Office i Washington D.C. som var den ledande institutionen för sammanfattandet av astronomiska data, i vilket han begärde information om Jupiters månsystem som var standardobjektet för experiment med ljus utanför Jorden sedan det att dansken Ole Christian Römer (1644-1710) hade lyckats bestämma ljushastigheten tack vare galileimånarnas rörelser. Som tack för att ha fått denna information så skickade Maxwell år 1879 ett brev till Todd där han tackade och diskuterade sedan sin artikel i Encyclopedia Britannica. Inom fem månader så var Maxwell död men brevet hamnade snart hos Royal Society i London som kom att publicera det i tidskriften "Nature" den 29 januari år 1880.

Michelson-Morleys experiment

Brevet lästes snart av den amerikanske fysikern Albert Abraham Michelson (1852-1931) som höll på att genomföra postdoktorala studier hos Ludwig von Helmholtz (1821-1894) i Berlin. Michelson var redan en erkänd expert på mätningar med ljus och han insåg att Maxwell hade underskattat noggrannheten med vilken mätningar baserade på ljus kan göras. Han bestämde sig för att göra ett eget spegelexperiment. Instrumentet, som numera kallas för en michelsoninterferometer, stod klart i Berlin år 1880 och användes vid observatoriet utanför Potsdam för att konstatera att någon eter inte kan påvisas. Detta resultat publicerades i en artikel i "American Journal of Science" i augusti år 1881. Michelson, som hade förväntat sig att få ganska starka reaktioner över resultatet, blev besviken över hur liten respons artikeln fick och beklagade sig så småningom över detta bl a i ett brev till Lord Rayleigh (1842-1919) år 1887. Lord Kelvin (1824-1907) och Rayleigh studerade artikeln, fann resultatet märkvärdigt och uppmuntrade därför Michelson till att genomföra experimentet igen. Så gjorde även den holländske fysikern Henrik Antoon Lorentz (1853-1929) som dessutom fann ett fel i Michelsons artikel och därför inte bekymrade sig särskilt mycket över nollresultatet som enligt Lorentz troligen berodde på dålig noggrannhet vid mätningarna. Detta ledde till att Michelson bestämde sig för att göra om experimentet vid Case School of Applied Science i Cleveland, USA, där han numera var verksam. En ny michelsoninterferometer konstruerades tillsammans med den amerikanske kemisten Edward Williams Morley (1838-1923) och de ansträngde sig verkligen för att minimera påverkan från varje källa som kunde orsaka störningar. I augusti år 1887 meddelade Michelson och Morley att man åter igen hade fått ett nollresultat. Detta var en besvikelse för dåtidens klassiska fysiker men de flesta accepterade trots allt experimentets resultatet. Man insåg nu att det i stället måste röra sig om en brist i teorin. Lord Kelvin beskrev Michelson och Morleys resultat som 1800-talets stora mörka moln inom ljusteorin i en föreläsning inför Royal Society år 1900.

Grunderna till relativitetsteorin läggs

Experimentet gav dock som sagt stöd för att teorin var fel och detta ledde i sin tur till att främst Lorentz samt den store franske matematikern och fysikern Henri Poincaré (1854-1912) kunde lägga de första pusselbitarna till relativitetsteorin. Genom den numera s k Fitzgerald-Lorentz kontraktionen fick nollresultatet vid Michelson-Morleys experiment en fysikalisk förklaring. Den irländske fysikern George FitzGerald (1851-1901) hade fått idén att "kroppars längd förkortas med en faktor som är kvadratroten ur förhållandet mellan kroppens hastighet igenom etern och ljushastigheten då kroppen färdas i eterns riktning jämfört med om kroppen färdas vinkelrätt mot etern". FitzGerald presenterade regelbundet denna hypotes under sina föreläsningar samt i den mycket korta artikeln "The Ether and the Earth's Atmosphere" som han hade skickat till den vetenskapliga tidsskriften "Science" och som hade publicerats år 1889; dock utan Fitzgeralds vetskap. Lorentz kände inte till Fitzgeralds artikel i Science då han år 1892 föreslog samma kontraktionsprincip i en artikel där han plötsligt hade ändrat åsikt och tog Michelson-Morleys experiment på största allvar och som även härledde det som numera kallas för lorentztransformationerna. Den som först formulerade dessa transformationer, och dessutom visade att de var invarianta, hade dock Woldemar Voigt (1850-1919) varit som hade kommit fram till dessa på modifierad form när han skrev på ett arbete om dopplerförskjutningen år 1887. Voigt hade korresponderat med Lorentz om Michelson-Morleys experiment år 1887 och 1888 men Lorentz verkade inte ha hört talas om transformationerna vid denna tidpunkt. Lorentz hade dock varit mycket oroad över nollresultatet i experimentet. När det påpekades för Lorentz år 1894 att FitzGerald hade publicerat en liknande tanke skrev han ett brev till FitzGerald som svarade att han hade sänt en artikel till Science men att han inte visste om den någonsin blev publicerad. Han var glad över att Lorentz höll med honom eftersom FitzGerald "hade skrattas åt för hans åsikt här borta". Lorentz tog nu varje tillfälle till fånga att påpeka att det var FitzGerald som hade föreslagit idén först. Nästan bara FitzGerald, som inte trodde att hans artikel någonsin hade blivit publicerad, trodde att Lorentz hade publicerat först och borde få äran!

Joseph Larmor (1857-1942) skrev en artikel år 1898 kallad "Ether and matter" i vilken han skrev ner lorentztransformationerna (som vid denna tidpunkt ännu inte hade formulerats av Lorentz) och visade att FitzGerald-Lorentz kontraktionen var en konsekvens av dessa transformationer. Lorentz skrev ner transformationerna, som numera är uppkallade efter honom, i en artikel från år 1899. Precis som Larmor visade han att FitzGerald-Lorentz kontraktionen är en konsekvens av lorentztransformationerna.

Henri Poincaré var länge en fullständig teori på spåren men förstod troligen aldrig den speciella relativitetsteorin i någon djupare mening. Han hade författat den mest revolutionerande artikeln om den blivande relativitetsteorin under 1800-talet, nämligen "La mesure du temps" som publicerades år 1898. I denna artikel skriver Poincaré att: "…vi har ingen direkt intuition om sambandet mellan två tidsintervall. Åtminstone om etern inte visar sig vara en substans utan endast rum med vissa fysikaliska egenskaper". Vid hans öppningstal av 1900 års pariskongress frågade han sig om etern verkligen existerar. År 1904 kom Poincaré mycket nära teorin om den speciella relativitetsteorin vid en föreläsning vid International Congress of Arts and Science i St Louis, USA. Han påpekade att observatörer i olika referensramar har klockor som "...beskriver vad man kan kalla lokal tid ... enligt relativitetsprincipen kan en observatör inte veta om han är i vila eller absolut rörelse". I juni månad år 1905 skickade Poincaré in artikeln "Sur la dynamique de l'electron" för publikation. Poincaré påpekar i denna att "det verkar som en omöjlighet att visa att absolut rörelse är en generell naturlag". Efter att ha döpt lorentztransformationerna efter Lorentz i tron att den holländske fysikern hade formulerat dessa först så visar Poincaré att dessa transformationer, tillsammans med rotationerna, utgör en grupp och är invarianta. Han lyckas komma ett stort steg på vägen mot en komplett teori när han konstaterade att produkten av två lorentztransformationer ger ytterligare en lorentztransformation där hastigheten lyder den senare s k Einsteins formel för addition av hastigheter. Han visste dock inte att bara ett par veckor tidigare så hade någon annan upptäckt gruppegenskaperna hos lorentztransformationerna och nått hela vägen fram till en komplett teori.

Einstein grundar den speciella relativitetsteorin

Istället skulle det komma att bli en ung tyskfödd fysiker med namnet Albert Einstein (1879-1955) som utvecklade teorin och urmjölkade dess konsekvenser. Han hade tidigt under tonåren blivit intresserad av ellärans och magnetismens konsekvenser. Hur påverkar ett magnetfält som generaras då en ström slås på den omgivande etern och hur påverkar magnetfältet strömmen? Han lyckades snart återupptäcka induktionens egenskaper (han kände inte till Maxwells upptäckter vid denna tidpunkt och trodde vid denna tidpunkt på eterns existens) och vid sexton års ålder så insåg han något genom ett av hans berömda s k tankeexperiment som kom att prägla hans tankar under de närmaste tio åren. Under vintern mellan åren 1895 och 1896 så hade han i ett tankeexperiment insett att om någon färdas med samma hastighet som en ljusvåg, d v s med ljushastigheten, så iakttas ett tidsoberoende vågfält och något sådant borde inte kunna existera. Han kom under nästföljande år i kontakt med problemen med ljus, etern samt Jordens färd genom denna eter och frågorna om deras koppling med varandra blev ett problem som han inte kunde släppa. Han ville konstruera en apparat som kunde detektera etern och kände inte till att flera stora fysiker redan höll på med just detta. Michelson-Morleys experiment var alltså inte den faktor som fick Einstein att inse att något revolutionerande var nödvändigt inom kinematiken, som det hade varit för de övriga fysikerna. En större faktor till Einsteins genombrott var istället tankeexperimentet, Ernst Mach och hans princip samt Poincarés bok "La Science et l'Hypothèse" som innehåller ett kapitel om klassisk mekanik. Denna bok studerade Einstein med stor entusiasm under ETH-tiden och bl a så skriver Poincaré i detta kapitel: "Det finns ingen absolut tid; d v s att två tidsrymder är lika har i sig själv ingen mening utan tidsrymder kan endast konstrueras genom konventioner…". Einstein kände alltså till Poincarés åsikter om att tidsrymder inte kan uppfattas intuitionellt. Efter diskussioner med studiekamraten och kollegan vid patentverket i Bern, Michele Besso (1873-1955), samt övertygelsen om att Maxwells elektromagnetiska fältteori är helt korrekt så lyckades Einstein att "fullständigt lösa problemet" om rum och tid.

I juni år 1905 (ett par veckor före Poincarés artikel) så publicerades Einsteins artikel "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" i den dåtida ledande vetenskapliga skriften för teoretisk fysik; "Annalen der Physik". Artikeln är mycket anmärkningsvärd eftersom den tar en så annorlunda väg gentemot traditionella artiklar. Den presenteras inte som ett försök att förklara experimentella resultat utan p g a den innehållande teorins enkelhet och vackerhet. Artikeln bestod av två delar, dels en kinematisk del (definition av samtidighet, härledning av lorentztransformationen, egentid och relativistisk hastighetsaddition) samt dels en elektrodynamisk del (tranformation av Maxwell-Hertz ekvationen, elektromagnetiska krafter vid rörelse, dopplerprincipen, aberration samt dynamiken hos långsamt accelererade elektroner), i vilka en helt komplett teori presenterades som bl a förklarar anledningen till nollresultatet i Michelson-Morleys experiment. Hela den kinematiska delen, som är en av höjdpunkterna inom vetenskapshistorien, grundar alla resultat på följande två postulat:

  1. Att signalhastigheten är uppåt begränsad till ljushastigheten i vakuum och att denna gräns alltid är lika stor.
  2. Att fysikens lagar är identiska i varje inertialram.

Han återupptäckte även lorentztransformationerna som Einstein vid denna tidpunkt inte kände till. I september år 1905 så publicerades även en andra kortare artikel av Einstein i Annalen der Physik ("Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?") där den berömda formeln E=mc^2 publicerades för första gången genom att utforska konsekvenserna av elastiska kollisioner mellan två partiklar. Att massa och energi på något sätt var förknippade visste man inom vissa vetenskapliga kretsar om sedan tidigare (bl a den österrikiske fysikern Fritz Hasenhörl hade observerat detta samband) men för första gången gavs en teori som kan förklara det exakta förhållandet.

Einstein förberedde sig på att hans första artikel i "Annalen der Physik", den ledande tyska vetenskapliga journalen som alla stora vetenskapsmän på den tiden läste, skulle leda till en massiv kritik men till hans förvåning hördes ingenting under lång tid. Forskarvärlden var avvaktande. Till slut så fick Einstein dock ett brev från Max Planck (1858-1947), en av dåtidens absolut största fysiker, som ville att Einstein skulle förklara ett par detaljer. Detta blev händelsen som utlöste en storm av reaktioner. Det var mycket tack vare Planck som relativitetsteorin spreds den första tiden och det var Planck som skrev den första artikeln om relativitetsteori (detta skedde år 1908), Einstein undantagen. Snart fick Einstein post med titeln "Professor Einstein vid universitetet i Bern"(!) och fysiker vallfärdade till Bern för att diskutera teorin med Einstein. Den förste som gjorde det var troligen Max von Laue (1879-1960) som blev överraskad över den unge Einsteins utseende och som hade svårt att föreställa sig att han kunde vara den revolutionerande relativitetsteorins skapare.

De huvudsakliga grundarna av den speciella relativitetsteorin var, förutom Albert Einstein, utan tvivel Lorentz och Poincaré. Det är därför intressant att se deras reaktioner till den slutgiltiga formuleringen av teorin. Trots att det tog flertalet år för Einstein att formulera teorin så var den väldigt naturlig för honom när han väl hade funnit de två postulaten. Lorentz reaktioner var bitvis konfunderande. Trots att han uppenbarligen förstod Einsteins artiklar så verkade det som om han aldrig accepterade deras resultat helt och hållet. I en föreläsning år 1913 påpekade han hur snabbt som relativitetsteorin hade blivit accepterad. För egen del var han mindre säker: "Angående denna föreläsare så finner han tillfredsställelse i den gamla tolkningen där etern åtminstone har någon mening, rum och tid är klart åtskilda samt kan diskuteras samtidigt utan vidare specificerande. Slutligen skall det noteras att det vågade påståendet att hastigheter större än ljusets aldrig kan observeras innehåller en hypotetisk begränsning av vad som är tillgängligt för oss, en begränsning som inte kan accepteras utan en viss reservation". Trots Lorentz tvivel angående den speciella relativitetsteorin så blev den snabbt accepterad. År 1912 föreslogs Lorentz och Einstein ett delat Nobelpris för den speciella relativitetsteorin av den tidigare nobelpristagaren Wilhelm Wien (1864-1928): "…medan Lorentz måste anses vara den första som fann relativitetsteorins matematiska innehåll, så lyckades Einstein att reducera den till en enkel princip. Man kan därför tillskriva prestationerna hos de båda som likvärdiga…".

Minkowski skapar rumtiden

År 1908 publiserade den tyske matematikern och fysikern Hermann Minkowski (1864-1909), som för övrigt hade varit en av Einsteins lärare under ETH-tiden, en viktig artikel om relativitetsteorin som presenterade Maxwell-Lorentz ekvationerna i tensorform. Han introducerade den fyrdimensionella rumtiden och under ett föredrag på en kongress i Köln år 1908 yttrade han orden "Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich ewig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren"; från och med nu skall rum och tid för evigt vara förenade. Han visade även att Newtons gravitationsteori inte är konsistent med den speciella relativitetsteorin. Minkowski hade alltså gjort om Einsteins speciella relativitetsteori, som han hade baserat i stort sett på tankeexperiment, till en matematisk teori. Einstein tyckte inte alls om att hans före detta lärare, som han inte gillade eftersom denne inte hade gett Einstein en lärartjänst vid ETH som Einstein så gärna hade viljat ha, hade gjort om hans vackra teori till ren matematik. Einstein hånade därför till en början Minkowski för detta men insåg med tiden att denna matematiska abstraktion av teorin var just vad som behövdes. Tack vare Minkowskis skapande av den fyrdimensionella rumtiden så fick Einstein det kraftfulla matematiska regelverk som skulle komma att behövas för att utveckla den mycket mer matematiskt komplicerade allmänna relativitetsteorin.

Einstein funderar på hur materia påverkar rummet

Under hösten år 1907 höll Einstein under ledig tid, som han hade ont om eftersom han fortfarande var anställd vid patentverket i Bern, på med en utförlig artikel om den speciella relativitetsteorin som skulle publiceras i "Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik". Han började då fundera på vilka förändringar som skulle behövas göras med Newtons gravitationsteori för att stämma överens med den speciella relativitetsteorin. Vissa försök visade att detta var möjligt men Einstein var inte nöjd eftersom de var nästan helt utan fysikalisk grund. I november år 1907, sittande i sitt arbetsrum i Bern, fick Einstein en tanke som han under resten av sitt liv skulle beteckna som "den lyckligaste under sitt liv". Det gravitationella fältet har bara en relativ existens, precis som det elektriska fältet genererat genom elektmagnetisk induktion. En observatör som faller fritt upplever inget gravitationsfält - åtminstone inte i dennes absoluta omgivning. Om en fritt fallande observatör släpper ett objekt så förblir detta i vila eller likformig rörelse relativt honom. Observatören kan därför tolka sitt tillstånd som att vara i vila. Ekvivalensprincipen var upptäckt.

I artikeln för "Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik", som var klar för publikation i början av december månad år 1907, behandlades förutom den nyuppfunna ekvivalensprincipen, som alltså säger att en observatör inte kan särskilja mellan gravitation och acceleration om han befinner sig i en enda punkt, även den gravitationella rödförskjutningen som han uppenbarligen kände till redan vid denna tidpunkt samt Maxwells ekvationer som han också försökte behandla ur en generellare synvinkel. Einstein hade kommit en liten bit på väg mot en ny och generell teori för gravitation men hade lång väg kvar. Efter denna artikel skulle Einstein i stort sett inte publicera någonting om hans försök att generalisera relativitetsteorin förrän år 1911 och detta berodde troligen på flera olika orsaker. År 1908 började han bli väldigt känd utanför de innersta vetenskapliga kretsarna (framgång kan ju sätta stopp för kretativiteten hos vem som helst) samtidigt som han påbörjade sin akademiska karriär genom att ansöka om att bli en s k privatdozent (en tysk akademisk titel liknande dagens doktorstitel). För att få bli detta så måste han prestera en vetenskaplig artikel (Habilitationsschrift) som inte har publicerats förut; det räckte inte med att Einstein skickade in sin doktorsavhandling samt de sjutton artiklar som han dittills hade publicerat. I februari år 1908 fick han dock rätten att undervisa och året därefter fick han sin första tjänst som associativ professor i teoretisk fysik vid universitetet i Zürich. Den 6 juli år 1909 lade Einstein in sin avskedsansökan vid patentverket och redan två dagar senare fick han sin första hedersdoktorstitel vid Geneves universitet. Einstein höll verkligen på att bli berömd. Han hade samma lön vid universitetet i Zürich som han hade haft som patentgranskare men absolut inte mer fritid och därmed möjlighet till egen forskning. Han hade en stor undervisningsbörda och att undervisa var något han aldrig gillade särskilt mycket trots att han gillade att diskutera sin egen forskning, möjligtvis för att undervisningen av för honom inaktuella teorier inkräktade på hans tankar om nya teorier. Dessutom skulle han vara handledare för sin första doktorand. Einstein kom att stanna i Zürich fram till mars år 1911 då han accepterade en professur vid Karl-Ferdinand universitetet i Prag. Under tiden i Zürich publicerade han elva artiklar om teoretisk fysik, bl a flera mycket kreativa om kvantteorin, dock inga om generaliserandet av relativitetsteorin. Att flytta till Prag kan verka lite underligt eftersom Einstein trivdes i Zürich men troligtvis var Einstein ute efter en riktig professur och bättre betalt.

I juni år 1911, bara ett par månader efter att han och familjen hade installerat sig i Prag, så upptog han dock det aktiva utforskandet av relativitetsteorin. Han var inte längre nöjd med presentationen av relativitetsteorin från år 1907 och hade insett att en experimentell bekräftelse av ljusets krökning var möjlig och av yttersta vikt. Han hade år 1907 insett att detta experiment hade varit väldigt svårt att utföra i ett laboratorium på jorden. Men det var troligen inte förrän nu som han insåg att detta kunde göras med hjälp av astronomiska observationer. Han började även på ett nytt tillvägagångssätt för att lösa mysterierna med ljusets böjning, den gravitationella rödförskjutningen och Maxwells ekvationer. Han försökte hitta en ny teori ur vilken han kunde härleda ekvivalensprincipen. Einstein publicerade fler artiklar om gravitation år 1912. I dessa insåg han att lorentztransformationerna inte fungerar i dess mer generella termer utan en större invariant grupp var nödvändig samt att fysikens lagar behövde vara betydligt mer komplicerade. Einstein insåg även att gravitationsfältet måste vara olinjärt och att ekvivalensprincipen bara fungerar lokalt. Han insåg också troligen att en ny geometri för rumtiden behövs och att inte bara en utan tio olika gravitationella potentialer är nödvändiga. Trots dessa observationer så hade han ännu ingen giltig lag för gravitationen.

Grossmann hjälper Einstein med matematiken

Vistelsen i Prag varade bara i sexton månader. Han kom dock aldrig att trivas på samma sätt i Prag som i Zürich. Han gillade tjänsten och institutet men inte folket som han tyckte var honom främmande samt byråkratin som var enorm. Under tiden sedan Einstein hade utvecklat den speciella relativitetsteorin så hade hans studiekamrat Marcel Grossmann (1878-1936) avancerat och blivit inte bara professor i geometri vid ETH utan även rektor för den matematiska och fysikaliska institutionen. I denna roll försökte han genast värva kompisen Einstein till institutionen, någonting som inte blev särskilt svårt. Einstein tackade inte nej och i augusti år 1912 var Einstein med familj tillbaka i Zürich. Någon gång mellan den 10 och 16 augusti förstod Einstein att riemanngeometrin är det matematiska verktyg som behövs för basera den allmänna relativitetsteorin på. Han hade själv kommit på att Karl Friedrich Gauss (1777-1855) ytteori, som han hade studerat under tiden vid ETH, är nyckeln till problemet men han kände inte till att Bernhard Riemann (1826-1866) hade studerat geometrin ännu grundligare. När han anlände till Zürich hade han frågat geometrikern Grossmann om denne kände till någon matematisk teori inom vilken allmän kovarians råder och Grossmann hade efter vissa undersökningar berättat om Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) och Riemanns teorier. Differentialgeometrin, som den matematiska grenen kallades, var dock inte särskilt välkänd utanför de inre matematiska kretsarna men skulle komma att bli det i och med presenterandet av Einsteins allmänna relativitetsteori. Han sade vidare att differentialgeometrin hade nackdelen att den var olinjär. Einstein svarade dock att detta var en fördel eftersom han redan visste att den linjära euklidiska geometrin inte skulle komma att kunna beskriva den nya teorin. Einstein förstod nu att det inte är skalärer utan tensorer som behövs och att man i denna teori måste hitta generellt kovarianta tensorer vars komponenter endast beror på derivatorna av koefficienterna Fundamentala metriska tensorn hos den grundläggande kvadratiska linjeelementet Grundläggande kvadratiska elementet.

Einstein inledde nu ett samarbete med Grossmann och tillsammans började de utforska den mycket krångliga differentialgeometrin "som ingen fysiker bör beröra sig med" samt att ur denna teori försöka hitta de lagar som skulle bilda den framtida allmänna relativitetsteorin. Denna uppgift var mycket svårt. Einstein skrev: "…i hela mitt liv har jag inte arbetat ens i närheten så hårt, och jag har fått en djup respekt för matematik, som jag mer eller mindre hade betraktat som ren lyx fram till nu". "Den ursprungliga (speciella) relativitetsteorin är rena barnleken i jämförelse med denna teori". Resultatet av samarbetet publicerades i en artikel år 1913 där Einstein och Grossmann hade skrivit halva innehållet var. Den innehåller en del fysikaliska insikter, vissa korrekta allmännt relativistiska ekvationer, visst felaktigt resonemang samt klumpig notation. De använde kovarianta samt kontravarianta index i artikeln men samtliga index var nedsänkta och istället användes två olika symboler beroende på om det var kovarians eller kontravarians som avseddes. Denna besvärliga notation övergavs inte av Einstein förrän år 1914 till förmån för Ricci-Curbastros och Levi-Civitas notation med upphöjda index för att beteckna kontravarianta tensorer och nedsänkta index för att beteckna kovarianta tensorer. Grossmanns bidrag till artikeln är en beskrivning av riemanngeometrin och dess tensorkalkyl. Han beskriver Christoffels treindexsymbol Kopplingskoefficienter, som först introducerades av den tyska matematikern Elwin Bruno Christoffel (1829-1900), och som numera ofta även kallas för affiniteter eller kopplingskoefficienter och uppkommer när man tar den kovarianta derivatan av en kontravariant vektor i ett krökt rum. Einstein skulle även komma att göra en stor matematisk uppfinning i och med införandet av konventionen att om ett likadant index både finns uppehöjt och nedsänkt i en ekvation så innebär detta implicit en summering av komponenterna trots att summationstecknet inte finns utsatt.

År 1913 publicerade Einstein och Grossmann ytterligare en gemensam artikel där Ricci-Curbastros och Levi-Civitas tensorkalkyl används för att nå fler framsteg. Grossmann gav Einstein Riemann-Christoffel tensorn som, tillsammans med den ur denna härledbara Ricci tensorn, skulle komma att bli ett mycket viktigt verktyg för den framtida teorin. Framsteg hade gjorts eftersom gravitationen för första gången beskrevs av den metriska tensorn men teorin var fortfarande inte korrekt. Då Planck besökte Einstein år 1913 och Einstein berättade för honom om den nuvarande situationen hos teorin sade Planck: "Som en äldre vän måste jag råda dig att inte fortsätta med teorin eftersom för det första kommer du inte att lyckas och för det andra så kommer ingen att tro dig om du lyckas".

Einstein hade insett att den euklidiska geometrin inte skulle komma att fungera efter att ha studerat FitzGerald-Lorentz kontraktionen i en roterande referensram relativt en stillastående inertialram.

Denna insats av Einstein fick andra till att försöka konstruera gravitationsteorier. Personer som Nordström, Abraham och Mie korresponderade med Einstein och försökte sig just på detta, dock utan att lyckas. Einstein insåg dock vilket det stora problemet var: "Om alla accelererade system är ekvivalenta så kan inte euklidisk geometri fungera i alla system".

Planck hade fel, men bara lite, för när Einstein lyckades med hans teori så blev den inte riktigt accepterad. Det var under den andra halvan av år 1915 som Einstein slutligen fick till teorin. Före det hade han dock skrivit en artikel i oktober år 1914 som till hälften handlar om tensoranalys och differentialgeometri. Denna artikel ledde till en korrespondens mellan Einstein och Levi-Civita där Levi-Civita påpekade tekniska fel i Einsteins artikel. Einstein var förtjust över att kunna växla idéer med Levi-Civita som var mycket mer entusiastisk till hans artiklar än Einsteins övriga kollegor.

En helt annorlunda och mer fundamental väg till mångdimensionella rum grundades i och med införandet av topologisk mångfald med kvadratlinjära element av Bernhard Riemann (1826-1866) år 1854. Omkring år 1870 hade Riemanns idéer mer eller mindre blivit vardagsmat för matematikerna i dessa kretsar. Hans teori om kvadratiska differentialformer utvecklades av de tyska matematikerna Elwin Bruno Christoffel (1829-1900) och Rudolph Lipshitz (1832-1903) som hade skrivit var sin artikel om ämnet under år 1870. Artikeln av Christoffel introducerade det som nu kallas för christoffelsymboler. Dessa undersökningar, tillsammans med Eugenio Beltramis (1835-1900) teori om differentialparametrar, ledde Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) till hans absoluta differentialkalkyl år 1884. Detta var en ny invariant symbolism ursprungligen skapad för att handskas med transformationsteorin av partiella differentialekvationer men gav samtidigt en symbolism för transformationsteorin av kvadratiska differentialformer. Tack vare Ricci och hans elever, främst Tullio Levi-Civita (1873-1941), så utvecklades den absoluta diffentialkalkylen till det som numera kallas för tensorkalkyl. Tensorer har förmågan att förena många invarianta symboler och skulle komma att visa sig vara kraftfulla inom elasticitetsteori, hydrodynamik samt relativitetsteori. Namnet tensor har sitt ursprung inom elasticitetsteorin och grundades av Woldemar Voigt år 1900. Den främsta personen inom differentialgeometrin i 1800-talets Italien var Luigi Bianchi (1856-1928) som skrev ett av de absolut främsta verken om differentialgeometrin kallad "Lezioni di geometria differenziale".

Hilbert hinner före

Vid slutet av juni månad år 1915 tillbringade Einstein en vecka i Göttingen där han höll sex stycken föreläsningar om hans version av den allmänna relativitetsteorin från år 1914. David Hilbert (1862-1943) och Felix Klein (1849-1925), som båda var verksamma vid universitetet, lyssnade på hans föreläsningar och till Einsteins lycka så lyckades han att övertyga de två matematikerna fullständigt om teorin.

De slutliga stegen mot en korrekt teori om allmän relativitet gjordes av Einstein och Hilbert vid nästan samma tidpunkt. Båda hade upptäckt brister i Einsteins artikel ifrån oktober år 1914 och en brevväxling mellan de två inleddes i november år 1915. Hur mycket de lärde av varandra är svårt att uppskatta men faktumet att de upptäckte den slutliga formen av fältekvationerna för gravitationen med bara några dagars mellanrum tyder på att deras korrespondens var mycket hjälpsam.

Einstein grundar den allmänna relativitetsteorin

Den 18 november år 1915 gjorde Einstein en upptäckt som han var totalt exalterad över i flera dagar. Problemet rörde sig om förflyttningen av periheliumpunkten hos Merkurius svagt elliptiska bana. Le Verrier hade genom astronomiska observationer år 1859 upptäckt att denna punkt flyttar sig med 38 bågsekunder mer varje århundrade än vad som kan förklaras med Newtons lagar. Många möjliga lösningar föreslogs. Att Venus är 10% tyngre än vad som var tänkt, att det finns ytterligare en planet innanför Merkurius bana, att Solen är mer oblat än vad som har observerats, att Merkurius har en måne samt att Newtons lag om att dragningskraften avtar omvänt mot kvadraten på avståndet är inkorrekt. År 1882 hade man mer noggrant uppskattat förflyttningen till 43 bågsekunder per århundrade. År 1911 insåg Einstein vikten av astronomiska observationer för hans teori och han arbetade tillsammans med Freundlich för att göra de nödvändiga mätningarna av Merkurius bana som kunde bekräfta riktigheten hos den allmänna relativitetsteorin. Freundlich bekräftade i en artikel år 1913 att förflyttningen till just 43 bågsekunder per århundrade. Einstein tillämpade hans gravitationsteori och upptäckte att detta värde var just vad som krävdes av hans teori för att inte behöva ta till någon av de ovan nämna orsakerna. I november år 1915 hade Einstein fortfarande inte lyckats ta fram den korrekta versionen av relativitetsteorins fältekvationer men just denna beräkning var ej påverkad av detta. Freundlich försökte ta fram andra tester för den allmänna relativitetsteorin baserade på gravitationell rödförskjutning men detta lyckades inte.

I artikeln från den 18 november år 1915 så upptäckte Einstein även att faktorn som ljuset böjs med av Solen var fel med en faktor två i artikeln från år 1911. Ett nytt värde beräknades till 1,74 bågsekunder. Inte förrän år 1919 så lyckades man bekräfta detta värde vid två brittiska expeditioner (Eddington) och fick värden på 1,98±0,30 bågsekunder respektive 1,61±0,30 bågsekunder.

Den 25 november skickade Einstein in artikeln "The field equations of gravitation" som gav de korrekta fältekvationerna för den allmänna relativitetsteorin. Beräkningen av ljusböjningen och förflyttningen av Merkurius periheliumförflyttning förblev oförändrade sedan beräkningen en vecka tidigare.

Fem dagar före det att Einstein skickade in sin artikel så skickade Hilbert in artikeln "The foundations of physics" som också innehöll de korrekta fältekvationerna. Hilbert artikel innehåller några viktiga bidrag som inte fanns i Einsteins artikel. Hilbert tillämpade variationsprincipen på gravitationen och "attributerade" en av huvudsatserna gällande identiteter som uppstår p g a en sats som Emmy Noether hade formulerat och som var i Göttingen år 1915. Inget bevis av satsen gavs. Hilberts hoppas på att innehållet i artikeln skall leda till en föreningen av gravitation och elektromagnetism.

Allmän relativitetsteori är en teori om gravitation och för att förstå bakgrunden till teorin så måste vi se hur gravitationsteorier utvecklades. Aristoteles uppfattning av rörelserna hos kropparna blockerade förståelsen av gravitation under en lång tid. Han trodde att krafter endast kunde verka genom direkt kontakt och att därmed fjärrkrafter inte är möjliga samt att en konstant kraft behövs för att upprätthålla en kropp i likformig rörelse.

Kopernikus uppfattning var att Solsystemet var viktigt eftersom det tillät noggranna mätningar av gravitationen. Keplers planetlagar och Galileis förståelse av kroppars rörelse tillät Newton att utveckla sin gravitationsteori som presenterades i Principia år 1687.

Efter det att Newtons mekanik hade fått sin definitiva analytiska form av Euler så omarbetades Newtons rörelseaxiom av Lagrange, Hamilton och Jacobi till mycket kraftfulla och generella metoder som använde nya analytiska kvantiteter, bl a potential, som är relaterad till krafter men är fjärran ifrån den dagliga upplevelsen. Newtons universella gravitationslagar ansågs vara riktiga tack vare arbeten av Clairaut och Laplace. Laplace påstod att Solsystemet är stabilt i sitt verk "Traité du Mécanique Céleste" ifrån år 1799. Studiet av den gravitationella potentialen tillät variationer i gravitationen som kunde observeras både praktiskt och teoretiskt på jorden. Poisson använde ett tillvägagångssätt med den gravitationella potentialen som gav en ekvation som, till skillnad från Newtons, kunde lösas under ganska allmänna villkor.

Newtons gravitationsteori var mycket framgångsrik. Det fanns liten anledning att ifrågasätta den förutom i en svaghet som var hur den ena kroppen skall veta att den andra är där. Vissa viktiga påpekanden om gravitationen gjordes av Maxwell år 1864. Hans "A dynamical theory of the electromagnetic field" från år 1864 hade han skrivit för: "…att förklara den elektromagnetiska påverkan mellan avlägsna kroppar utan att anta existensen av krafter som har förmågan att verka direkt på rimliga avstånd".

I slutet av boken så kommenterar Maxwell gravitationen: "Efter att ha spårat påverkan av det omgivande mediet till magnetiska och elektriska attraktioner samt repulsioner, och efter att ha funnit dem bero omvänt på kvadraten av avståndet så leds vi helt naturligt till att undersöka om attraktionen av gravitationen, som följer samma avståndslag, inte också är spårbar till påverkan av ett omgivande medium".

Hur som helst så uppmärksammar Maxwell att det uppstår en paradox vid attraktionen av lika kroppar. Energin hos mediet måste minska av närvaron av kropparna och Maxwell sa: "Eftersom jag inte kan förstå på vilket sätt ett medium kan ha sådana egenskaper, kan jag inte fortsätta lägre i denna riktning efter orsaken till gravitation".

År 1900 påstod Lorentz att gravitation orsakas av händelser som fortplantas med ljusets hastighet. Poincare föreslog år 1905 att alla krafter kan transformeras enligt lorentztransformationerna. I detta fall noterar han att Newtons gravitatationslag inte är giltig och förslog gravitationsvågor som fortplantar sig med ljusets hastighet.

Emmy Noethers sats publicerades med ett bevis år 1918 i en artikel som hon skrev under sitt eget namn. Denna sats har blivit ett viktigt verktyg inom den teoretiska fysiken. Ett specialfall av Emmy Noethers sats gjordes av Weyl år 1917 när han ur denna härledde identiteter som senare visade sig oberoende ha upptäcktes av Ricci-Curbastro år 1889 och av Luigi Bianchi år 1902.

Omedelbart efter Einsteins artikel med den korrekta fältekvationerna hade publicerats så fann Karl Schwarzschild år 1916 en matematisk lösning till ekvationerna som beskriver gravitationsfältet hos ett massivt kompakt objekt. Vid denna tidpunkt var detta ett rent matematiskt resultat, men visade sig med tiden ha stor betydelse för neutronstjärnor och inte minst svarta hål.

Einstein nådde den slutgiltiga versionen av den allmänna relativitetsteorin efter en lång väg med långsam framgång och många fel utmed dess väg. I december år 1915 sade Einstein om sig själv att "Den där Einstein vänder kappan efter vinden. Varje år tar han tillbaka vad han skrev året tidigare".

De flesta av Einsteins kollegor hade svårt att förstå den snabba följden av artiklar, varje rättelse, ändring och utökande som hade gjorts tidigare. I december år 1915 skrev Ehrenfest till Lorentz och hänvisade till teorin från den 25 november år 1915. Ehrenfest och Lorentz korresponderade om den allmänna relativitetsteorin under två månader medan de försökte förstå den. Till slut så förstod Lorentz teorin och skrev till Ehrenfest att "Jag har gratulerat Einstein till hans lysande resultat". Ehrenfest svarade att han inte hade förstått utan att gratulationen var en hemlig hälsning från en invigd till en annan.

I mars år 1916 var Einstein färdig med en artikel som förklarade den allmänna relativitetsteorin på ett mer lättförståeligt sätt. Artikeln var framgångsrik och Einstein skrev snart ytterligare en som skulle komma att publiceras mer än 20 gånger om.

 

Tillbaka till Kosmologikas hemsida Nästa sida