Differentialgeometri och tensorer














 

För att gå vidare till den allmänna relativitetsteorin så behövs den matematiska differentialgeometrin, eftersom rummet krökts vid närvaro av materia och endast lokalt blir euklidiskt. Tensorer, som är mycket användbara även inom den speciella relativitetsteorin, är mycket kraftfulla eftersom de bl a bevarar invariansen vid transformationer. Eftersom vektorer som börjar i en punkt A och slutar i en annan punkt B endast fungerar i euklidiska rum så måste vektorer parametriseras och begreppet tangentvektor införas. Eftersom raka linjer inte längre är parallella i ett icke euklidiskt rum måste begreppet raka linjer utökas och omdefinieras. Denna ersättare är den mer allmänna geodeten och för denna gäller att den s k kovarianta derivatan, som är en generaliserad derivata som kompenserar för rummets krökning, är noll för en viss koordinat och hastighet. Den kovarianta derivatan i en punkt m a p en viss riktning beräknas genom att tensorn flyttas (lokalt) och även beräknas i en infinitesimalt närliggande punkt som ligger i den önskade riktningen utan att tensorns komponenter förändras i koordinatsystemet och att tensorn sedan parallellförflyttas (globalt) tillbaka till punkten där den kovarianta derivatan skall beräknas.

Kovariant derivata (Courtesy Misner, Thorne och Wheeler)
Skiss över bestämmandet av den kovarianta derivatan i punkten P(lambda=0) för vektorn v i riktningen u som är parametriserad av lambda.

Vid en förflyttning av en tensor som hålls konstant, både i fråga om storlek och riktning, i den lokala lorentzramen så förändras ändå tensorn globalt sett p g a att koordinatsystemets basvektorer förändras till följd av rummets krökning. Inuti den lokala lorentzramen är det "lätt" att beräkna den kovarianta derivatan på det "klassiska" sättet. För att kunna beräkna den kovarianta derivatan i en godtycklig global referensram måste förändringen hos basvektorerna kompenseras med en s k kopplingskoefficient (affinitet) för varje index i "bastensorn" till följd av krökningen.

Tillbaka till Kosmologikas hemsida Nästa sida